Un árbol binario es un árbol en el que ningún nodo puede
tener más de dos subárboles. En un árbol binario cada nodo puede tener cero,
uno o dos hijos (subárboles). Se conoce el nodo de la izquierda como hijo
izquierdo y el nodo de la derecha como hijo derecho. Existen tipos de árboles binarios que suelen usarse para
fines específicos, como:
- Árbol binario de búsqueda
- Árbol de Fibonacci
Árbol binario de búsqueda
Sea A un árbol
binario de raíz R e hijos izquierdo y derecho
(posiblemente nulos) HI y HD ,
respectivamente. Se dice que A es
un árbol binario de búsqueda (ABB) si y solo si se satisfacen las dos
condiciones al mismo tiempo:
·
"HI es
vacío" {\displaystyle \lor }V ("R es mayor que
todo elemento de HI" {\displaystyle \land }۸ "HI es un ABB").
·
"HD es
vacío" {\displaystyle \lor }V ("R es menor que
todo elemento de HD" {\displaystyle \land }۸ "HD es un ABB").
Donde "۸{\displaystyle \land } "
es la conjunción lógica "y", y "{\displaystyle \lor } v" es la disyunción lógica
"o".
Para una fácil comprensión queda resumido en que es un árbol binario que cumple que el subárbol izquierdo de cualquier nodo (si no está vacío) contiene valores menores que el que contiene dicho nodo, y el subárbol derecho (si no está vacío) contiene valores mayores. Para estas definiciones se considera que hay una relación de orden establecida entre los elementos de los nodos. Que cierta relación esté definida, o no, depende de cada lenguaje de programación. De aquí se deduce que puede haber distintos árboles binarios de búsqueda para un mismo conjunto de elementos. La altura h en el peor de los casos es siempre el mismo tamaño que el número de elementos disponibles. Y en el mejor de los casos viene dada por la expresión h=[log2 (c+1)*]. Un árbol binario de búsqueda no deja de ser un caso particular de árbol binario, así usando la siguiente especificación de árbol binario en maude:
fmod ARBOL-BINARIO {X :: TRIV}is
sorts ArbolBinNV{X} ArbolBin{X} .
subsort ArbolBinNV{X} < ArbolBin{X} .
*** generadores
op crear : -> ArbolBin{X} [ctor] .
op arbolBin : X$Elt ArbolBin{X}
ArbolBin{X} -> ArbolBinNV{X} [ctor] .
endfm
Se puede hacer la siguiente definición para un árbol binario de búsqueda (también en
maude):
fmod ARBOL-BINARIO-BUSQUEDA {X :: ORDEN} is
protecting ARBOL-BINARIO{VOrden}{X} .
sorts ABB{X} ABBNV{X} .
subsort ABBNV{X} < ABB{X} .
subsort ABB{X} < ArbolBin{VOrden}{X} .
subsort ABBNV{X} < ArbolBinNV{VOrden}{X} .
*** generadores
op crear : -> ArbolBin{X} [ctor] .
op arbolBin : X$Elt ArbolBin{X}
ArbolBin{X} -> ArbolBinNV{X} [ctor] .
endfm
Con
la siguiente teoría de orden:
fth ORDEN is
protecting BOOL .
sort Elt .
*** operaciones
op _<_ : Elt Elt -> Bool .
endfth
Para
que un árbol binario pertenezca al tipo árbol binario de búsqueda debe cumplir
la condición de ordenación siguiente que iría junto al módulo
ARBOL-BINARIO-BUSQUEDA:
var R : X$Elt .
vars INV DNV : ABBNV{X} .
vars I D : ABB{X} .
mb crear : ABB{X} .
mb arbolBin(R, crear, crear) : ABBNV{X} .
cmb arbolBin(R, INV, crear) : ABBNV{X} if R > max(INV) .
cmb arbolBin(R, crear, DNV) : ABBNV{X} if R < min(DNV) .
cmb arbolBin(R, INV, DNV) : ABBNV{X} if (R > max(INV)) and (R < min(DNV)) .
ops min max : ABBNV{X} -> X$Elt .
eq min(arbolBin(R, crear, D)) = R .
eq min(arbolBin(R, INV, D)) = min(INV) .
eq max(arbolBin(R, I, crear)) = R .
eq max(arbolBin(R, I, DNV)) = max(DNV) .
class nodo:
izq , der, dato = None, None, 0
def __init__(self, dato):
# crea un
nodo
self.izq = None
self.der = None
self.dato = dato
class arbolBinario:
def __init__(self):
# inicializa la raiz
self.raiz = None
def agregarNodo(self, dato):
# crea un nuevo nodo y lo devuelve
return nodo(dato)
def insertar(self, raiz, dato):
# inserta un dato nuevo en el árbol
if raiz == None:
# si no hay nodos en el árbol lo
agrega
return self.agregarNodo(dato)
else:
# si hay nodos en el árbol lo recorre
if dato <= raiz.dato:
# si el dato ingresado es menor
que el dato guardado va al subárbol izquierdo
raiz.izq = self.insertar(raiz.izq, dato)
else:
# si no, procesa el subárbol derecho
raiz.der = self.insertar(raiz.der, dato)
return raiz
Árbol de Fibonacci
Árboles
de Fibonacci de orden 1, 2, 3 y 4.
Se
llama árbol de Fibonacci a una variante de árbol binario con la propiedad que
el orden de un nodo se calcula como la sucesión de Fibonacci. El
árbol de Fibonacci se define de la siguiente manera:
- El árbol nulo (no
contiene ningún nodo) es de orden 0.
- El árbol que consta
de un único nodo es de orden 1.
Para
n > 1, el árbol de Fibonacci de orden n consta de un nodo raíz con el árbol
de Fibonacci de orden n-1 como hijo izquierdo y el árbol de Fibonacci de orden
n-2 como hijo derecho. Dado
que este tipo de árbol es un caso particular de un árbol AVL, ya que el factor
de equilibrio de todo nodo es -1, un árbol de Fibonacci es balanceado con
altura O(log n).
TArbinDinamico<int> arbolFibonacci (int n){
TArbinDinamico<int>
res;
if (n==0)
res =
TArbinDinamico(0, n, 0);
else if (n==1)
res = TArbinDinamico(1, n, 0);
else
res =
TArbinDinamico(arbolFibonacci(n-1), n, arbolFibonacci(n-2));
return res;
}
